 |
| fractal |
Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detil yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif.
Bahasa Inggris dari fraktal adalah fraktal. Istilah fraktaldibuat oleh Benoît Mandelbrot pada tahun 1975 dari kata Latinfractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju Koch) adalah kurva monster.
Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-bendamatematis. Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains,teknologi, dan seni karya komputer. Dulu ide-ide konsepsual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri Euclid dan kalkulusgagal melakukan berbagai pengukuran pada benda-benda monster tersebut.
Geometri Euclidean klasik bekerja dengan object dimensi bilangan bulat , geometri fraktal berhadapan dengan object dimensi non-bilangan bulat. Geometri Euclidean adalah suatu bentuk garis, elipsis , lingkaran, dan lain lain . Geometri Fraktal , bagaimanapun, diuraikan dalam algorithims-- satu himpunan instruksi2 pada bagaimana cara menciptakan suatu fraktal.
Dunia seperti kita ketahui terdiri dari object berisi dimensi bilangan bulat i, poin-poin dimensional tunggal, sebuah dimensional garis dan kurva, dimensi dua menggambarkan bidang seperti lingkaran dan persegi, dan dimensi tiga benda padat seperti kubus dan bola. Bagaimanapun, banyak hal secara alami diuraikan secara alami digambarkan dengan dimensi menjadi bagian dari antara dua bilangan cacah. Suatu garis lurus mempunyai satu dimensi, suatu kurva fraktal punya dimensi antara satu dan dua, tergantung pada berapa banyak ruang digunakan ketika membengkok dan melingkar. Semakin banyak suatu fraktal memenuhi suatu wahana, semakin mendekati dimensi dua. Di dalam cara pemikiran yang sama, suatu scene fraktal; akan tergambar sebuah dimensi natara dua dan tiga. Karenanya, suatu gambaran fraktal yang terdiri dari suatu bentuk bukit dengan bengkak kecil akan semakin dekat dengan dimensi dua edangkan suatu pemandangan terdiri atas suatu permukaan kasar dengan banyak bukit berukuran rata – rata akan mendekati pada dimensi tiga.
Sejarah
Bunga salju Koch adalah gabungan dari daerah-daerah berbentuksegitiga yang jumlahnya tak hingga. Setiap kali segitiga baru ditambahkan saat membangun bunga salju Koch (suatu iterasi), kelilingnya bertambah. Keliling bunga salju Koch adalah tak hingga.
Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun — grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang. Di tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisiWeierstraß yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebut bunga salju Koch. Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh olehPaul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.
Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar — himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.
Aspek dari deskripsi himpunan
Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor,matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorffmenggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik padaruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis.
Kontribusi Mandelbrot
Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian Lewis Fry Richardson. Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Di tahun 1975, Mandelbrot menggunakan kata fraktal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas. Dia menurunkan kata fraktal dari kata Latin fractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Kata fraktal bukan diturunkan dari katafractional (pecahan), seperti yang dipercaya banyak orang. Katafractional sendiri juga diturunkan dari fractus.
Setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-argumen visual nan ampuh untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak bidang matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas. Salah satu contoh adalah menggambar metode Newton sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bahwa batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh. Geometri fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks, seperti pertumbuhan pohon dan perkembangan lembah sungai.
Pengelompokan Fraktal
Fraktal bisa dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. Pengelompokan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.
- Sistem fungsi teriterasi — Contohnya adalah himpunan Cantor,karpet Sierpinski, kurva Peano, bunga salju Koch, kurva naga Harter-Heighway, Kotak T, dan spons Menger.
b. Fraktal waktu lolos — Contohnya adalah himpunan Mandelbrotdan fraktal Lyapunov.
c. Fraktal acak — Dihasilkan melalui proses stokastik, misalnyalandskap fraktal dan penerbangan Lévy.
Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupaan dirinya. Ada tiga tingkat keserupadirian pada fraktal:
- Serupa diri secara persis — Ini adalah keserupadirian yang paling kuat. Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
b. Serupa diri secara lemah — Ini adalah keserupadirian yang tidak terlalu ketat. Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.
c. Serupa diri secara statistik — Ini adalah kererupadirian yang paling lemah. Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu bentuk keserupadirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.
Perlu dicatat bahwa tidak semua benda yang serupa diri adalah fraktal — misalnya garis riil (garis Euclid lurus) bersifat serupa diri, tapi argumen bahwa benda-benda Euclid adalah fraktal merupakan minoritas. Mandelbrot berargumen bahwa definisi "fraktal" sepatutnya menyertakan tidak hanya fraktal "sebenarnya", namun juga benda-benda Euclid tradisional, karena bilangan irasional di garis bilangan memiliki sifat-sifat kompleks dan tidak berulang.
Karena fraktal memiliki detil yang tak terhingga, tidak ada benda alami yang merupakan fraktal. Namun pada skala yang terbatas benda-benda alam bisa menampakkan sifat-sifat fraktalnya.
Contoh-contoh Fraktal
 |
| contoh geometri fraktal |
Pohon dan pakis adalah contoh fraktal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan algoritma rekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah — ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis, tapi mirip).
Contoh yang relatif sederhana adalah himpunan Cantor, di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensi d yang memenuhi 0 < d < 1. Suatu resep sederhana, yaitu menghilangkan digit 7 dari ekspansi desimal, menghasilkan himpunan Cantor yang serupa diri pada perbesaran lipat 10.
Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Ini berarti bahwa fraktal cenderung memiliki detil yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun; saat ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan menunjukkan gambar yang mirip. Himpunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan dengan rekursi.
Sebagai perbandingan, ambil benda Euklid biasa, misalnya lingkaran. Lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensional kurvatur, yang merupakan resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal, meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detil yang tidak terlihat sebelumnya.
Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot,fraktal Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski,spons Menger, kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisadeterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.
Benda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di alam. Benda-benda tesebut menunjukkan struktur frakral yang kompleks pada skala tertentu. Contohnya adalah awan, gunung, jaringan sungai, dan sistem pembuluh darah.
Harrison meluaskan kalkulus Newtonian ke domain fraktal, termasuk teorema Gauss, Green, dan Stokes.
Fraktal biasanya digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal. Fraktal acak memiliki kegunaan praktis yang terbesar sebab dapat digunakan untuk mendeskripsikan banyak benda di alam. Contohnya adalah awan, gunung, turbulensi, garis pantai, dan pohon. Teknik-teknik fraktal juga telah digunakan pada kompresi gambar fraktal dan berbagai disiplin sains.
Perhatikan contoh bentuk fraktal berikut :
Penyajian Fraktal Secara Grafis
Fraktal adalah gambaran diciptakan ke luar dari proses dari suatu mathematical explorasi dari [ruang;spasi] di mana mereka direncanakan. Karena halaman ini, suatu layar komputer akan menghadirkan ruangyang mana yang sedang diselidiki. Masing-Masing titik di dalam area diuji dalam beberapa cara, yang pada umumnya suatu penyamaan berulang untuk periode waktu ditentukan. Penyamaan dulu menguji masing-masing titik di daerah pengujian adalah sering sangat sederhana. Masing-Masing titik tertentu di dalam daerah pengujian digunakan sebagai suatu titik awal untuk menguji penyamaan ditentukan di dalam suatu periode waktu terbatas. Jika jalan keluar penyamaan, atau menjadi sangat besar, di dalam periode waktu, itu diwarnai putih. Jika jika tidak lepas, atau tinggal di dalam cakupan ditentukan melalui/sampai ke luar periode waktu, itu diwarnai hitam. Karenanya, suatu gambaran fraktal adalah suatu penyajian yang grafis menyangkut poin-poin yang berbeda, atau keluar kendali, dan poin-poin yang memusat, atau tinggal di dalam himpunan itu. Untuk membuat gambaran fraktal yang lebih elablorate dan menarik, warna ditambahkan kepadanya. Bukannya sederhananya merencanakan suatu titik putih jika itu jalan keluar, titik ditugaskan suatu warna sehubungan dengan seberapa cepat itu lepas. Hasil gambaran adalah sangat terperinci dan memiliki geometri non-Euclidean. Fraktal dapat juga diproduksi dengan berikut satu kumpulan instruksi seperti memindahkan pusat yang ketiga dari suatu segmen garis. Suatu penjelasan yang lebih lengkap bagaimana cara menghasilkan gambar fraktal, dikhususkan untuk fraktal individu.